這是「圍棋 AI 學習筆記」系列的第一篇，從一個很老、但很直觀的問題開始：看著一盤棋，電腦要怎麼判斷哪裡是誰的地？
在 AlphaGo 用神經網路直接「看」出形勢之前，早期的圍棋程式多半靠手寫規則來估算勢力範圍。Bruno Bouzy 在 2003 年發表的 5/21 演算法[1]就是其中一個經典做法：借用影像處理的「數學形態學」，把每顆棋子的影響力向外擴散，再把邊緣不穩的部分削掉，剩下來的就是比較確定的地盤。它的膨脹步驟改自 Zobrist 在 1969 年提出的勢力模型[2]，Bouzy 再補上對應的侵蝕步驟；這個方法用在他自己的圍棋程式 Indigo 裡，後來也被 GNU Go 採用。
互動演示
下面的棋盤可以自己擺子，拉動步驟滑桿或按播放，看數值怎麼一步步變化。滑鼠移到格點上，會顯示那一步是怎麼算出來的。
演算法
整個過程只有三個階段，每一步都是同時更新所有格點（用上一步的值計算，不會邊算邊影響）。
1. 初始化
黑子設為 +64，白子設為 −64，空點設為 0，這是原論文[1]沿用 Zobrist 模型的設定。正值代表黑方的影響力，負值代表白方的。
2. 膨脹（Dilation）5 次
對每個格點：
- 如果它 ≥ 0，而且上下左右四鄰沒有負值，就加上四鄰中正值的個數。
- 負值那一方對稱處理：如果它 ≤ 0，而且四鄰沒有正值，就減去四鄰中負值的個數。
- 四鄰正負都有的點不動，代表雙方勢力在這裡碰頭。
膨脹讓影響力像水波一樣往外擴散，一次一格。5 次之後，單顆子的影響會涵蓋距離 5 以內的菱形範圍，越靠近棋子數值越大。
3. 侵蝕（Erosion）21 次
對每個格點：
- 如果它是正值，就減去四鄰中 ≤ 0 的個數，最多減到 0。
- 負值那一方對稱處理：加上四鄰中 ≥ 0 的個數，最多加到 0。
侵蝕從勢力範圍的邊緣往內削。邊緣的點跟 0 或對方相鄰，會一直被扣分；被自己人包圍的點則不受影響。
結果
做完 26 步之後，正值的空點算黑地，負值的空點算白地。
為什麼是 5 和 21？
21 不是隨便挑的。Bouzy 在論文[1]裡讓侵蝕次數 E 和膨脹次數 D 滿足：
E = D × (D − 1) + 1
D = 5 時剛好是 21（論文也提到 Indigo 依對局階段使用 4/13 或 5/21）。這個關係的效果是：一顆孤零零的子，侵蝕會剛好把膨脹出來的範圍全部削掉，不會憑空生出地來。在上面的演示選「單顆子」播放到最後就能看到：5 次膨脹後擴散出一大片，21 次侵蝕後所有空點都回到 0。
換句話說，單顆子只有「影響力」、沒有「地」；要有好幾顆子互相支援、把一塊區域圍起來，那塊區域裡的點才撐得過侵蝕。這很符合下棋的直覺。
可以觀察的幾件事
- 兩子對峙：兩顆子中間那一列在整個過程中都是 0。膨脹時雙方在這裡碰頭，誰也進不去，就成了分界線。
- 角落小盤面：試著把一方的子往邊角靠，或在對方勢力裡多放一顆，看最後的地盤怎麼變。棋盤邊線不算鄰居，所以邊角的點比中央更不容易被侵蝕。
- 打開「顯示數字」：膨脹階段數值增加得很快，侵蝕階段每一步只扣個位數。可以把滑鼠移到勢力邊緣的點，看它是被哪些鄰居扣分的。
侷限
5/21 只看棋子的位置，不懂死活：一顆被包圍、其實已經死掉的子，還是會被當成有影響力的子。它也不分辨誰下一手，以及哪裡還有劫或打入的餘地。所以它比較適合當「大致的形勢判斷」，而不是精確的終局數地。後面的筆記會再看更進一步的方法怎麼處理這些問題。
參考資料
- Bruno Bouzy (2003). "Mathematical morphology applied to computer Go." International Journal of Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 17(2), 257–268. PDF
- Albert L. Zobrist (1969). "A model of visual organization for the game of Go." Proceedings of the AFIPS Spring Joint Computer Conference, 103–111.